MATHEMATICS MODELLING

Note:: Istilah model memiliki arti yang berbeda dalam teori model, sebuah cabang dari logika matematika. Sebuah artefak yang digunakan untuk menggambarkan ide matematika dapat juga disebut model matematika, dan penggunaan ini merupakan kebalikan dari arti dijelaskan di bawah ini.

Sebuah model matematis adalah deskripsi dari sebuah sistem yang menggunakan matematika bahasa. Proses pengembangan model matematis disebut pemodelan matematika (juga ditulispemodelan). Model Matematis yang digunakan tidak hanya dalam ilmu alam (seperti fisika, biologi, ilmu bumi, meteorologi) dan rekayasa disiplin, tetapi juga dalam ilmu-ilmu sosial (seperti ekonomi,psikologi, sosiologi dan ilmu politik); ahli fisika, insinyur, ahli statistik, analis riset operasi dan ekonom menggunakan model matematika yang paling luas.

Model Matematis dapat mengambil banyak bentuk, termasuk namun tidak terbatas pada sistem dinamis, model statistik, persamaan diferensial, atau model teori permainan. Ini dan lainnya jenis model dapat tumpang tindih, dengan model tertentu yang melibatkan berbagai struktur abstrak.

Contoh model matematika

1. Penduduk Pertumbuhan. Sebuah model (meskipun perkiraan) sederhana pertumbuhan penduduk adalah model pertumbuhan Malthus. Sebuah sedikit lebih realistis dan sebagian besar digunakan model pertumbuhan penduduk adalah fungsi logistik, dan extension.
2. Model partikel dalam bidang-potensi. Dalam model ini kita menganggap partikel sebagai titik massa yang menggambarkan lintasan dalam ruang yang dimodelkan dengan fungsi memberikan koordinat yang dalam ruang sebagai fungsi dari waktu. Bidang potensial diberikan oleh fungsi V : R³ → R dan lintasan merupakan solusi dari persamaan diferensial  Catatan model ini mengasumsikan partikel titik massa, yang tentu diketahui palsu dalam banyak kasus di mana kita menggunakan model ini, misalnya, sebagai model gerak planet.
3. Model perilaku rasional bagi konsumen. Dalam model ini kita asumsikan konsumen menghadapi pilihan n komoditas berlabel 1,2 ,...,n masing-masing dengan harga pasar p₁, p₂,..., p_n. Konsumen diasumsikan memiliki kardinal utilitas fungsi U (kardinal dalam arti bahwa ia memberikan nilai numerik untuk utilitas), tergantung pada jumlah komoditi x₁, x₂,..., x_n dikonsumsi. Model ini lebih lanjut mengasumsikan bahwa konsumen memiliki anggaran M yang digunakan untuk membeli vektor x₁, x₂,..., x_n sedemikian rupa untuk memaksimalkan U(x₁, x₂,..., x_n). Masalah perilaku rasional dalam model ini kemudian menjadi sebuah optimasi masalah, yaitu:    tunduk pada:      Model ini telah digunakan dalam teori ekuilibrium umum, khususnya untuk menunjukkan eksistensi dan efisiensi Pareto dari kesetimbangan ekonomi. Namun, fakta bahwa formulasi khusus memberikan nilai numerik untuk tingkat kepuasan adalah sumber kritik (dan bahkan ejekan). Namun, hal itu bukan merupakan unsur penting dari teori dan sekali lagi ini adalah sebuah idealisasi.
4. Tetangga-sensing model menjelaskan jamur formasi dari awalnya kacau jamur jaringan.Pemodelan memerlukan memilih dan mengidentifikasi aspek yang relevan dari situasi di dunia nyata.

Latar Belakang

Seringkali ketika insinyur menganalisis sistem harus dikendalikan atau dioptimalkan, mereka menggunakan model matematis. Dalam analisis, insinyur dapat membangun sebuah model deskriptif dari sistem sebagai hipotesis tentang bagaimana sistem bisa bekerja, atau mencoba untuk memperkirakan bagaimana suatu peristiwa yang tidak terduga dapat mempengaruhi sistem. Demikian pula, dalam pengendalian suatu sistem, insinyur dapat mencoba pendekatan kontrol yang berbeda dalam simulasi.

Sebuah model matematis biasanya menggambarkan suatu sistem dengan satu set variabel dan satu set persamaan yang membangun hubungan antara variabel-variabel. Nilai dari variabel dapat praktis apa pun; real atau integer angka, boolean nilai atau string, misalnya. Variabel merupakan beberapa sifat dari sistem, misalnya, sistem diukur output sering dalam bentuk sinyal, data waktu, counter, dan kejadian peristiwa (ya / tidak). Model yang sebenarnya adalah himpunan fungsi yang menggambarkan hubungan antara variabel-variabel yang berbeda.

blok Bangunan

Ada enam kelompok dasar dari variabel => variabel keputusan, variabel input, variabel negara, variabel eksogen, variabel acak, dan variabel output. Karena tidak bisa banyak variabel masing-masing jenis, variabel pada umumnya diwakili oleh vektor.

Keputusan variabel kadang-kadang disebut sebagai variabel independen. variabel eksogen kadang-kadang dikenal sebagai parameter atau konstanta. Variabel tidak independen satu sama lain sebagai variabel negara tergantung pada keputusan, masukan, acak, dan variabel eksogen. Selanjutnya, variabel output tergantung pada keadaan sistem (diwakili oleh variabel state).

Tujuan dan kendala sistem dan penggunanya dapat diwakili sebagai fungsi dari variabel-variabel atau variabel output negara. Fungsi Tujuan akan bergantung pada perspektif pengguna model.Tergantung pada konteks, suatu fungsi objektif juga dikenal sebagai indeks kinerja, karena beberapa ukuran yang menarik bagi pengguna. Meskipun tidak ada batasan untuk jumlah fungsi obyektif dan kendala model dapat memiliki, menggunakan atau mengoptimalkan model menjadi lebih terlibat (komputasi) sebagai nomor meningkat.

Pengelompokan model matematika

Banyak model matematika dapat diklasifikasikan dalam beberapa cara berikut:

1. Linear vs nonlinier: Model Matematika biasanya disusun oleh variabel, yaitu abstraksi dari jumlah kepentingan dalam sistem dijelaskan, dan operator yang bekerja pada variabel-variabel ini, yang dapat operator aljabar, fungsi, operator diferensial, dll Jika semua operator dalam suatu pameran model matematis linearitas, model matematika yang dihasilkan didefinisikan sebagai linier.Sebuah model dianggap nonlinier sebaliknya.
2. Pertanyaan tentang linieritas dan nonlinier tergantung pada konteks, dan model linier mungkin memiliki ekspresi nonlinier di dalamnya. Sebagai contoh, dalam model linier statistik, diasumsikan bahwa hubungan linear pada parameter, tetapi mungkin nonlinear dalam variabel prediktor. Demikian pula, suatu persamaan diferensial dikatakan linear jika dapat ditulis dengan linear operator diferensial, tetapi masih dapat memiliki ekspresi nonlinier di dalamnya. Dalam pemrograman matematis model, jika fungsi objektif dan kendala yang diwakili seluruhnya oleh persamaan linier, maka model dianggap sebagai model linier. Jika satu atau lebih dari fungsi objektif atau kendala yang diwakili dengan nonlinear persamaan, maka model ini dikenal sebagai model nonlinier.
3. Nonlinieritas, bahkan dalam sistem cukup sederhana, sering dikaitkan dengan fenomena seperti kekacauan dan ireversibilitas. Meskipun ada pengecualian, sistem nonlinear dan model cenderung lebih sulit untuk belajar dari yang linier. Pendekatan umum untuk masalah nonlinier adalah linierisasi, tetapi hal ini dapat menjadi masalah bila seseorang mencoba untuk mempelajari aspek-aspek seperti ireversibilitas, yang sangat terikat dengan nonlinier.
4. Deterministik vs probabilistik (stokastik): Sebuah deterministik model adalah satu di mana setiap set negara variabel secara unik ditentukan oleh parameter dalam model dan dengan set negara-negara sebelumnya dari variabel-variabel ini. Oleh karena itu, model deterministik melakukan cara yang sama untuk satu set kondisi awal tertentu. Sebaliknya, dalam stokastik model, keacakan hadir, dan menyatakan variabel yang tidak dijelaskan oleh nilai-nilai yang unik, melainkan dengan distribusi probabilitas.
5. Statis vs dinamis: Sebuah model statis tidak memperhitungkan unsur waktu, sementara model dinamik tidak. model dinamis biasanya diwakili dengan persamaan perbedaan atau persamaan diferensial.

priori informasi A

pemodelan masalah Matematika sering digolongkan ke dalam kotak hitam atau kotak putih model, menurut berapa banyak apriori informasi yang tersedia dari sistem. A-model kotak hitam adalah suatu sistem yang tidak ada apriori informasi yang tersedia. A-kotak model putih (juga disebut kaca kotak atau kotak yang jelas) adalah sebuah sistem dimana semua informasi yang diperlukan tersedia. Hampir semua sistem ada di suatu tempat antara kotak-kotak hitam dan model putih, sehingga konsep ini hanya berguna sebagai panduan intuitif untuk memutuskan pendekatan mana yang harus diambil.

Biasanya adalah lebih baik untuk digunakan sebagai banyak informasi priori mungkin untuk membuat model lebih akurat. Oleh karena itu-kotak model putih biasanya dianggap lebih mudah, karena jika Anda telah menggunakan informasi dengan benar, maka model akan berperilaku dengan benar. Seringkali apriori informasi datang dalam bentuk mengetahui jenis fungsi yang berkaitan variabel yang berbeda. Sebagai contoh, jika kita membuat model tentang bagaimana obat bekerja dalam sistem manusia, kita tahu bahwa biasanya jumlah obat dalam darah merupakan eksponensial membusukfungsi. Tapi kita masih tertinggal dengan beberapa parameter yang tidak diketahui, seberapa cepat melakukan peluruhan jumlah obat, dan apa yang nilai awal obat dalam darah? Contoh ini karena itu bukan sepenuhnya putih-kotak model. Parameter ini harus diperkirakan melalui berarti beberapa sebelum dapat menggunakan satu model.

Dalam kotak hitam model seseorang mencoba untuk memperkirakan bentuk hubungan fungsional antara variabel dan parameter numerik dalam fungsi-fungsi. Menggunakan informasi apriori kita bisa berakhir, misalnya, dengan satu set fungsi yang mungkin bisa menggambarkan sistem secara memadai. Jika tidak ada apriori informasi yang kami akan mencoba untuk menggunakan fungsi sebagai umum mungkin untuk menutup semua model yang berbeda. Sebuah pendekatan yang sering digunakan untuk-kotak hitam model jaringan saraf yang biasanya tidak membuat asumsi tentang data yang masuk. Masalah dengan menggunakan seperangkat besar fungsi untuk menggambarkan sistem adalah bahwa hasil estimasi parameter menjadi semakin sulit ketika jumlah parameter (dan berbagai jenis fungsi) meningkat.

informasi Subyektif

Kadang-kadang berguna untuk menggabungkan informasi subyektif menjadi sebuah model matematika. Hal ini dapat dilakukan berdasarkan intuisi, pengalaman, atau pendapat pakar, atau berdasarkan kenyamanan bentuk matematika. statistik Bayesian menyediakan kerangka teori untuk memasukkan subjektivitas tersebut menjadi analisis yang teliti: salah menentukan distribusi probabilitas sebelumnya (yang bisa subjektif) dan kemudian update distribusi ini berdasarkan data empiris. Salah satu contoh ketika pendekatan tersebut akan diperlukan adalah sebuah situasi di mana eksperimen sebuah lengkungan koin dan melempar sedikit sekali, rekaman apakah itu muncul kepala, dan kemudian diberi tugas untuk memprediksi probabilitas bahwa flip berikutnya muncul kepala.Setelah membungkuk koin, probabilitas benar bahwa koin akan muncul kepala tidak diketahui, maka percobaan akan perlu membuat keputusan yang sewenang-wenang (mungkin dengan melihat bentuk koin) tentang apa distribusi sebelum digunakan. Pendirian informasi subyektif diperlukan dalam hal ini untuk mendapatkan prediksi yang akurat probabilitas, karena jika orang akan menebak 1 atau 0 karena peluang flip kepala yang berikutnya, yang akan hampir pasti salah.

Kompleksitas

Secara umum, kompleksitas model melibatkan trade-off antara kesederhanaan dan akurasi model. Occam's Razor adalah sebuah prinsip relevan dengan model, gagasan penting adalah bahwa antara model dengan prediksi kekuatan yang sama kira-kira, yang paling sederhana adalah yang paling diinginkan. Sementara kompleksitas ditambahkan biasanya meningkatkan realisme model, bisa membuat model sulit untuk memahami dan menganalisis, dan juga dapat menimbulkan masalah komputasi, termasuk ketidakstabilan numerik. Thomas Kuhn berpendapat bahwa kemajuan ilmu pengetahuan, penjelasan cenderung menjadi lebih kompleks sebelum Paradigma pergeseran menawarkan penyederhanaan radikal. Misalnya, ketika pemodelan penerbangan pesawat terbang, kita bisa embed setiap bagian mekanik dari pesawat ke dalam model kami dan dengan demikian akan memperoleh sebuah kotak putih-model hampir dari sistem. Namun, biaya komputasi menambahkan seperti sejumlah besar detail yang efektif akan menghambat penggunaan model tersebut. Selain itu, ketidakpastian akan meningkat karena sistem terlalu kompleks, karena setiap bagian terpisah menginduksi beberapa jumlah variansi dalam model. Oleh karena itu biasanya tepat untuk membuat beberapa model pendekatan untuk mengurangi ke ukuran yang masuk akal. Insinyur sering dapat menerima beberapa aproksimasi untuk mendapatkan kuat dan model yang lebih sederhana. Misalnya Newton mekanika klasik adalah model didekati dari dunia nyata. Namun,'s model Newton cukup memadai untuk situasi biasa-hidup yang paling, yaitu, selama kecepatan partikel yang jauh di bawah kecepatan cahaya, dan kita studi makro-partikel saja.

Pelatihan

Setiap model yang tidak murni putih-kotak berisi beberapa parameter yang dapat digunakan agar sesuai dengan model untuk sistem ini dimaksudkan untuk menggambarkan. Jika pemodelan dilakukan oleh jaringan syaraf, optimasi parameter yang disebut pelatihan. Pada pemodelan matematika konvensional lebih melalui fungsi yang diberikan secara eksplisit, parameter ditentukan oleh curve fitting.

Model evaluasi

Sebuah bagian penting dari proses pemodelan adalah evaluasi apakah suatu model matematis yang diberikan menggambarkan suatu sistem akurat. Pertanyaan ini bisa sulit untuk menjawab karena melibatkan beberapa jenis evaluasi.

Fit untuk data empirik

Biasanya bagian yang termudah dari evaluasi model adalah memeriksa apakah model yang cocok pengukuran eksperimental atau data empiris lainnya. Dalam model dengan parameter, pendekatan umum untuk uji kelayakan ini adalah untuk membagi data menjadi dua himpunan bagian beririsan: data pelatihan dan data verifikasi. Data pelatihan digunakan untuk mengestimasi parameter model.Sebuah model yang akurat erat akan sesuai dengan data verifikasi meskipun data ini tidak digunakan untuk menetapkan parameter model. Praktek ini disebut sebagai cross-validasi dalam statistik.

Mendefinisikan metrik untuk mengukur jarak antara diamati dan diprediksi data adalah alat yang berguna untuk menilai model fit. Dalam statistik, teori keputusan, dan beberapa model ekonomi, fungsi kerugian memainkan peran yang serupa.

Sementara itu agak mudah untuk menguji kesesuaian parameter, dapat lebih sulit untuk menguji validitas dari bentuk matematis umum model. Secara umum, matematika alat yang lebih telah dikembangkan untuk menguji fit dari model statistik dari model yang melibatkan persamaan diferensial. Tools dari statistik nonparametrik kadang-kadang dapat digunakan untuk mengevaluasi seberapa baik distribusi data yang cocok diketahui atau untuk datang dengan model umum yang membuat hanya asumsi minimal tentang Teman bentuk model matematika.

Lingkup model

Menilai lingkup model, yaitu, menentukan model situasi apa berlaku untuk, bisa kurang jelas. Jika model dibangun berdasarkan sekumpulan data, kita harus menentukan dimana sistem atau situasi data yang dikenal adalah "khas" set data.

Pertanyaan tentang apakah model tersebut menggambarkan dengan baik sifat-sifat sistem antara titik data disebut interpolasi, dan pertanyaan yang sama untuk acara atau titik data di luar data yang diamati disebut ekstrapolasi.Sebagai contoh dari keterbatasan khas lingkup model, dalam mengevaluasi Newtonian mekanika klasik, kita dapat diketahui bahwa Newton melakukan pengukuran tanpa peralatan canggih, sehingga dia tidak bisa mengukur sifat partikel perjalanan dengan kecepatan mendekati kecepatan cahaya. Demikian juga, ia tidak mengukur gerakan molekul dan partikel kecil lainnya, namun partikel makro saja. Hal ini kemudian tidak mengherankan bahwa modelnya tidak ekstrapolasi baik ke domain tersebut, meskipun modelnya cukup memadai untuk kehidupan sehari-fisika.

pertimbangan Filosofis

Banyak jenis pemodelan secara implisit melibatkan klaim tentang kausalitas. Hal ini biasanya (tapi tidak selalu) benar model yang melibatkan persamaan diferensial. Sebagai tujuan pemodelan adalah untuk meningkatkan pemahaman kita tentang dunia, validitas model terletak tidak hanya pada cocok untuk pengamatan empiris, tetapi juga pada kemampuannya untuk meramalkan kemungkinan situasi atau data di luar yang awalnya digambarkan dalam model. Satu dapat menyatakan bahwa model adalah tidak berharga kecuali memberikan beberapa wawasan yang melampaui apa yang sudah diketahui dari penyelidikan langsung dari fenomena yang sedang dipelajari.

Sebuah contoh dari kritik tersebut adalah argumen bahwa model matematika dari teori pencarian makanan yang optimal tidak menawarkan wawasan yang melampaui akal-kesimpulan umum darievolusi dan prinsip-prinsip dasar ekologi lainnya

source:: http://www.fendy-science.co.cc/2010/11/model-matematika.html